EVT v nezgodnih zavarovanjih: Modeliranje repnih tveganj

1. Uvod: Zakaj so repna tveganja ključna za nezgodna zavarovanja?

Kot zavarovalna strokovnjakinja z 20-letnimi izkušnjami vem, da se zavarovalništvo ukvarja z obvladovanjem tveganj. Medtem ko se večina 'povprečnih' škodnih dogodkov uspešno modelira z normalnimi, log-normalnimi ali Poissonovimi porazdelitvami, pa pravi izziv predstavljajo ekstremni dogodki – tisti, ki so redki, a imajo izjemno visoke stroške. Pri nezgodnih zavarovanjih so to lahko katastrofalne nesreče, ki povzročijo trajno invalidnost ali celo smrt, ali serije nesreč z visoko skupno škodo.

Ti 'repni dogodki' imajo neproporcionalno velik vpliv na kapitalske zahteve zavarovalnic in njihovo finančno stabilnost. Če jih ne modeliramo pravilno, se lahko zavarovalnica znajde v resnih finančnih težavah, kar se odraža v nezadostnih rezervacijah in neustreznih cenah premij. Tukaj nastopi Teorija ekstremnih vrednosti (EVT), ki ponuja specializirana orodja za obvladovanje teh izjemnih, a kritičnih scenarijev. Moj namen danes je, da vas popeljem skozi matematične in statistične koncepte, ki nam omogočajo boljše razumevanje in obvladovanje teh inherentnih tveganj.

Pri določanju ustreznosti ponujenih kritij in izračunu premij je nujno, da se zavedamo, da standardne porazdelitve ne zajamejo ustrezno razpona ekstremnih škod. Te so pogosto 'debelejše', kot bi pričakovali. Na primer, povprečna škoda pri nezgodnem zavarovanju je lahko relativno nizka, vendar se statistično rep porazdelitve razprostira precej dlje, kot bi predvidevali ob predpostavki normalne porazdelitve. Razlika med pričakovano škodo po standardni porazdelitvi in realno opazovanimi ekstremnimi škodami lahko znaša tudi večkratnik, kar ima pomembne posledice za solventnost zavarovalnice. Zato se osredotočamo na EVT, ki nam omogoča zajeti to 'debelost repov' in se ustrezno pripraviti na najhujše.

2. Temelji Teorije ekstremnih vrednosti (EVT)

EVT je veja statistike, ki se osredotoča na verjetnostno obnašanje minimumov ali maksimumov velikih vzorcev podatkov. Za razliko od centralnega limitnega izreka, ki se nanaša na povprečja, EVT obravnava ekstremi. Dva ključna pristopa v EVT sta Block Maxima (BM) in Peaks Over Threshold (POT). Pri BM metodi analiziramo največje vrednosti znotraj določenih blokov (npr. letne maksimume škod), medtem ko pri POT metodi analiziramo vse vrednosti, ki presegajo določen visok prag. Slednja je pogosto bolj učinkovita, saj izkorišča več razpoložljivih podatkov.

Formalno, Fisher-Tippett-Gnedenko izrek pravi, da če obstaja limitna porazdelitev za ustrezno normalizirane maksimume neodvisnih in enako porazdeljenih slučajnih spremenljivk, potem ta porazdelitev spada v eno od treh tipov: Gumbel, Frechet ali Weibull. Te tri distribucije so združene pod okriljem Generalizirane ekstremne vrednosti (GEV) porazdelitve. Izbira prave distribucije je ključna za natančno modeliranje in odvisna od 'težnosti repa' osnovne porazdelitve.

Pomen EVT presega zgolj akademsko zanimanje. V praksi nam omogoča, da z relativno malo podatki o ekstremnih dogodkih, ki so po definiciji redki, ekstrapoliramo obnašanje in verjetnost še bolj ekstremnih dogodkov. To je ključnega pomena pri določanju stopenj kapitala, ki jih mora zavarovalnica imeti, da absorbira šok najhujših mogočih scenarijev, kot jih zahtevajo regulative tipa Solvency II. Brez EVT bi bili prisiljeni uporabiti manj natančne in potencialno nevarne metode za oceno tveganj.

3. GEV distribucija: Združitev Gumbel, Frechet in Weibull

Generalizirana ekstremna vrednost (GEV) porazdelitev je enoparametrična družina, ki zajema tri klasične limitne porazdelitve ekstremov: Gumbel, Frechet in Weibull. Njena kumulativna porazdelitvena funkcija (CDF) je podana z: \( F(x; \mu, \sigma, \xi) = e^{-[1+\xi(x-\mu)/\sigma]^{-1/\xi}} \), za \( 1+\xi(x-\mu)/\sigma > 0 \). Tukaj je \( \mu \) lokacijski parameter, \( \sigma > 0 \) skalirni parameter in \( \xi \) parameter oblike (shape parameter), ki določa, kateri tip porazdelitve GEV predstavlja.

Če je \( \xi > 0 \), gre za Frechet porazdelitev, ki je značilna za porazdelitve z 'debelimi repi' (heavy-tailed distributions). To pomeni, da so ekstremni dogodki relativno pogostejši in lahko dosežejo zelo visoke vrednosti. Primeri vključujejo škode pri naravnih katastrofah ali izjemno visokih škodah pri nezgodnih zavarovanjih, kjer ni zgornje meje škode. V tem primeru je verjetnost zelo velikih škod še vedno opazna. Če je \( \xi = 0 \), se porazdelitev pretvori v Gumbelovo porazdelitev, ki je tipična za porazdelitve z 'lahkimi repi' (light-tailed distributions) kot so npr. eksponentna, normalna ali log-normalna porazdelitev. V tem primeru ekstremni dogodki sicer so, a so redkejši in omejeni. In končno, če je \( \xi < 0 \), gre za Weibull porazdelitev, ki je značilna za porazdelitve z 'omejenimi repi' (short-tailed distributions), kar pomeni, da obstaja zgornja meja za opazovane vrednosti. To je redkeje uporabljeno v zavarovalništvu, razen morda pri izčrpnih limitah kritja.

Izbira pravega tipa GEV porazdelitve je ključnega pomena. Na primer, če se zanašamo na Gumbelovo porazdelitev (\( \xi = 0 \)), ko bi morali uporabiti Frechetovo (\( \xi > 0 \)), bomo podcenjevali verjetnost in velikost ekstremnih škod. To bi lahko vodilo v nezadostne kapitalske rezerve in posledično nestabilnost zavarovalnice. Ocena parametrov \( \mu, \sigma, \xi \) se običajno izvaja z metodo največje verjetnosti (MLE) ali metodo momentov (MoM), pri čemer je MLE pogosto preferirana zaradi asimptotičnih lastnosti, kot so konsistentnost in učinkovitost ocen.

4. Generalizirana Pareto porazdelitev (GPD) in optimalni prag

Medtem ko GEV obravnava bloke maksimume, Generalizirana Pareto porazdelitev (GPD) izhaja iz pristopa 'Peaks Over Threshold' (POT). GPD modelira porazdelitev presežkov nad določenim visokim pragom \( u \). Njena kumulativna porazdelitvena funkcija je podana z: \( F_u(y; \sigma_u, \xi) = 1 - [1+\xi y/\sigma_u]^{-1/\xi} \) za \( y > 0 \) in \( 1+\xi y/\sigma_u > 0 \), kjer je \( y = x - u \) presežek nad pragom, \( \sigma_u \) je skalirni parameter in \( \xi \) je parameter oblike (shape parameter), ki je enak \( \xi \) iz GEV porazdelitve.

Ključnega pomena pri uporabi GPD je določitev optimalnega praga \( u \). Preveč nizek prag vključuje preveč podatkov, ki niso 'ekstremni', in krši asimptotične lastnosti GPD. Preveč visok prag pa pomeni premalo podatkov za zanesljivo oceno parametrov. Obstajajo različne metode za določanje optimalnega praga, vključno z grafičnimi metodami (npr. Mean Excess Function Plot ali Hill plot) in statističnimi testi. Mean Excess Function (MEF) je še posebej uporabna; graf MEF bi moral biti približno linearen nad optimalnim pragom.

Izbira optimalnega praga je kritična in zahteva izkušenj. Napačno izbran prag lahko vodi v močno napačne ocene tveganja, kar se lahko odrazi v neustreznih premijah ali previsokih/prenizkih kapitalskih rezervacijah. Analiza občutljivosti na prag je zato nepogrešljiva. Tipičen pristop vključuje določanje več pragov, ocenjevanje parametrov GPD za vsakega in opazovanje stabilnosti ocen parametrov, še posebej parametra oblike \( \xi \). Ko so ocene stabilne, smo verjetno dosegli območje optimalnega praga.

5. Izračuni kvantilov in Value-at-Risk (VaR)

Ena glavnih aplikacij EVT v zavarovalništvu je izračun kvantilov visokih ravni in Value-at-Risk (VaR). VaR na stopnji \( p \) predstavlja vrednost, ki je presežena z verjetnostjo \( 1-p \). Na primer, VaR_99% je vrednost, ki je presežena le v 1% primerov. Za repna tveganja je standardna formula za izračun kvantila \( Q_p \) za GPD: \( Q_p = u + \frac{\sigma_u}{\xi} \left( \left( \frac{N}{N_u}(1-p) \right)^{-\xi} - 1 \right) \), kjer je \( N \) skupno število opazovanj in \( N_u \) število opazovanj nad pragom \( u \).

Poglejmo informativen primer izračuna: Predpostavimo, da imamo 1000 podatkov o škodah pri nezgodnih zavarovanjih. Izberemo prag \( u = 50.000 \) EUR in nad tem pragom je 50 škod (\( N_u = 50 \)). Ocenjeni parametri GPD so \( \xi = 0.2 \) in \( \sigma_u = 15.000 \) EUR. Izračunajmo VaR_99.9%. To pomeni, da je \( 1-p = 0.001 \). Vstavimo vrednosti v formulo: \( Q_{0.999} = 50.000 + \frac{15.000}{0.2} \left( \left( \frac{1000}{50}(0.001) \right)^{-0.2} - 1 \right) \). Po izračunu dobimo: \( Q_{0.999} \approx 50.000 + 75.000 \left( (20 \cdot 0.001)^{-0.2} - 1 \right) \approx 50.000 + 75.000 \left( (0.02)^{-0.2} - 1 \right) \approx 50.000 + 75.000 \left( 2.457 - 1 \right) \approx 50.000 + 75.000 \cdot 1.457 \approx 50.000 + 109.275 = 159.275 \) EUR. To pomeni, da z 99.9% verjetnostjo, škoda ne bo presegla 159.275 EUR.

Kvantili visokih ravni, kot je VaR, so ključni za določanje kapitalskih zahtev po regulativah, kot je Solvency II. Poleg VaR se pogosto uporablja tudi Expected Shortfall (ES), ki predstavlja povprečje vseh izgub, ki presegajo VaR. ES daje bolj celovito sliko tveganja, saj upošteva tudi obseg izgub v repu, ne le prag. Izračun ES je kompleksnejši, vendar nudi robustnejšo mero za upravljanje repnih tveganj, še posebej v primerih, ko VaR ni koherentna mera tveganja (npr. pri porazdelitvah z zelo debelimi repi).

6. Praktični primer: Modeliranje izjemno visokih škod v nezgodnih zavarovanjih

Vzemimo primer zavarovalnice, ki se sooča z visokimi izplačili zaradi hudih invalidnosti in smrti pri nezgodnih zavarovanjih. Standardne metode modeliranja so kazale, da je verjetnost izplačila nad 100.000 EUR izjemno majhna, kar je vodilo do podcenjevanja rezervacij. Podatki so bili zbrani za zadnjih 15 let in zajemali so več tisoč škodnih dogodkov, vendar je le približno 2% dogodkov preseglo 50.000 EUR. Ta majhna množica podatkov o ekstremnih škodah je bila ključna za EVT analizo.

S pomočjo Mean Excess Function (MEF) plota in preizkušanja stabilnosti parametra oblike \( \xi \) smo določili optimalni prag \( u = 60.000 \) EUR. Nad tem pragom smo imeli 85 ekstremnih škod. Z metodo največje verjetnosti (MLE) smo ocenili parametre GPD: \( \xi \approx 0.35 \) (kar kaže na Frechet tip repa, torej debel rep) in \( \sigma_u \approx 22.000 \) EUR. S temi parametri smo izračunali kvantile visokih ravni.

Ugotovili smo, da je 99.5% VaR za skupno škodo (združeno za določeno obdobje) znašal bistveno več, kot so predvidevali prejšnji modeli – namesto 250.000 EUR, je bil po EVT modelu 420.000 EUR. Ta razlika 170.000 EUR je pomenila, da je zavarovalnica potrebovala znatno več kapitala v rezervah za absorbcijo potencialnih izplačil. Uporaba EVT je razkrila resnično tveganost portfelja in omogočila zavarovalnici, da ustrezno prilagodi svoje rezervacije in cenovno politiko, s čimer se je izognila morebitni kapitalski neustreznosti in zagotovila dolgoročno stabilnost. Brez EVT bi bila zavarovalnica izpostavljena bistveno višjemu, neprepoznanemu tveganju.

7. Povezava med GEV in GPD: Teoretični temelji

Pomembno je razumeti, da GEV in GPD nista ločeni teoriji, ampak sta tesno povezani. Če se maksimumi nekega procesa porazdeljujejo po GEV, potem se presežki nad visokim pragom tega procesa porazdeljujejo po GPD. To se imenuje Pickands-Balkema-De Haan izrek. Ta izrek je temelj za to, da lahko uporabimo GPD za modeliranje repov, ko imamo podatke o vseh dogodkih, ne le maksimume po blokih.

Parametra oblike \( \xi \) sta pri obeh porazdelitvah enaka, kar omogoča preverjanje konsistentnosti modelov. Če bi na primer z GEV modelom letnih maksimov dobili \( \xi = 0.1 \), bi morali pri GPD modelu presežkov nad pragom dobiti podobno vrednost za \( \xi \). Razlike lahko kažejo na neustreznost modela ali izbiro praga. Ta teoretična povezava nam daje zaupanje v robustnost EVT pristopa in omogoča bolj celovito analizo ekstremnih dogodkov.

Pristop z GPD je v praksi pogosto bolj zaželen, saj omogoča učinkovitejšo izrabo podatkov. Pri Block Maxima metodi (GEV) v primeru, da imamo podatke o škodah znotraj blokov, ki so visoki, a niso maksimi bloka, te informacije izgubimo. Z GPD pa lahko zajamemo vse dogodke, ki presegajo določen prag, s čimer izkoriščamo več informacij in pridobimo robustnejše ocene parametrov. To je še posebej pomembno v situacijah, kjer so ekstremni dogodki izjemno redki in je vsak podatek dragocen.

8. Kaj je krito in kaj ni krito z vidika EVT modeliranja?

Zavarovalnica, ki uporablja EVT za modeliranje, dejansko optimizira svojo sposobnost kritja ekstremnih dogodkov. EVT nam omogoča natančneje določiti verjetnost in obseg izjemno visokih škod, s čimer se poveča zanesljivost kritja tudi v najhujših scenarijih. S tem so krita tveganja, ki so sicer podcenjena z običajnimi metodami. Na podlagi rezultatov EVT se lahko zavarovalnica odloči za višje limite kritja ali pa ustrezno določi višino premije za kritje izjemno visokih škod, ki so bile prej morda neadekvatno ovrednotene.

**Kaj je krito (bolje in zanesljiveje) zaradi EVT:** Visoki kvantili škodnih dogodkov (npr. 99,9% VaR), ki predstavljajo izjemno visoka izplačila pri nezgodnih zavarovanjih (npr. trajne invalidnosti z visokim odstotkom, smrti). Bolj natančna rezerviranja kapitala za primer katastrofalnih dogodkov, kar povečuje solventnost zavarovalnice. Priprava na scenarije, ki so sicer redki, a imajo velik finančni vpliv, kot so serije nesreč. Padec VaR (Value at Risk) in ES (Expected Shortfall) je bolj zanesljivo ocenjen, kar omogoča boljše cenjenje tveganja in določanje premij.

**Kaj ni krito (direktno z EVT):** Sama teorija EVT ne določa konkretnih izključitev iz zavarovalnih pogojev. Zavarovalnica še vedno določa splošne in posebne pogoje zavarovanja (npr. izključitev samopoškodovanja, vojn, terorističnih dejanj itd.). EVT se osredotoča na kvantitativno modeliranje škod, ne na pravne interpretacije kritja. Prav tako EVT ne preprečuje goljufij ali zmanjšuje administrativnih stroškov. Ne nadomešča zakonske regulative, kot so določila Zakona o zavarovalništvu (ZZavar-1), ki določajo splošne obveznosti zavarovalnic in pogoje poslovanja. Ne zagotavlja absolutne zaščite pred insolventnostjo, ampak zgolj znatno izboljšuje modeliranje in upravljanje ekstremnih tveganj, zmanjšuje verjetnost insolventnosti.

9. Zakonodajni okvir in EVT

V Sloveniji in Evropski uniji je zavarovalništvo strogo regulirano. Zakon o zavarovalništvu (ZZavar-1) določa splošna pravila za delovanje zavarovalnic, njihovo solventnost in nadzor. Prav tako so pomembni podzakonski akti, ki jih izdaja Agencija za zavarovalni nadzor (AZN). Regulatorji, kot je AZN, zahtevajo od zavarovalnic, da imajo ustrezne kapitalske rezerve za kritje tveganj, vključno z ekstremnimi dogodki. Tukaj vstopi Solvency II, evropska direktiva, ki je močno vplivala na to, kako zavarovalnice ocenjujejo in upravljajo tveganja, vključno z zahtevo po uporabi internih modelov za izračun kapitalskih zahtev.

V okviru Solvency II morajo zavarovalnice izračunati solventnostni kapital (SCR) na 99.5% verjetnostni ravni v obdobju enega leta. To je tipičen 'repni' kvantil, ki ga standardne distribucije težko zanesljivo ocenijo. Prav zato je EVT postala nepogrešljivo orodje za aktuarske oddelke in oddelke za upravljanje tveganj. Zavarovalnice, ki želijo uporabljati interne modele za izračun SCR, morajo dokazati, da so njihovi modeli robustni in natančni, kar pogosto vključuje uporabo EVT za modeliranje ekstremnih škod.

Uporaba EVT pri izračunih VaR in ES je v skladu z zahtevami Solvency II, saj omogoča natančnejše določanje potrebnega solventnostnega kapitala. To je pomembno ne le za zagotavljanje stabilnosti zavarovalnice, ampak tudi za zaščito zavarovancev. Zakonodaja (ZZavar-1) jasno določa, da morajo zavarovalnice delovati v skladu z načelom skrbnosti in imeti vzpostavljene sisteme za obvladovanje tveganj. Uporaba naprednih statističnih metod, kot je EVT, je del te skrbnosti in kaže na visoko raven strokovnosti pri upravljanju tveganj. Pomembno je poudariti, da pogoji posamezne zavarovalnice niso splošno pravilo, ampak so prilagojeni njenim specifikam in portfelju tveganj, v okviru zakonskih in regulativnih zahtev.

10. Napredne teme in prihodnost EVT v zavarovalništvu

EVT je dinamično področje, ki se nenehno razvija. Med naprednimi temami so večrazsežne (multivariate) EVT, ki omogočajo modeliranje sočasnih ekstremnih dogodkov, in uporaba EVT v kombinaciji s simulacijami Monte Carlo. Večrazsežna EVT je še posebej pomembna pri obvladovanju sistemskih tveganj in medsebojno povezanih škodnih dogodkov, kjer en ekstremni dogodek sproži verigo drugih. Na primer, serija hudih nesreč, ki so posledica istega vzroka in hkrati povzročijo več ekstremnih škod. Zavarovalnice, ki se osredotočajo na napredno modeliranje, že raziskujejo uporabo kopul (copulas) z GPD repi za boljše razumevanje skupnega obnašanja ekstremnih tveganj.

Poleg tega se EVT uporablja tudi za testiranje robustnosti modelov in stresne teste. Z njeno pomočjo lahko simuliramo scenarije, ki so 'preko 99,9%' verjetnosti, in ocenimo odpornost zavarovalnice na take 'črne labode'. Prihodnost EVT v zavarovalništvu se zdi svetla, saj se povečuje kompleksnost tveganj, hkrati pa rastejo tudi regulativne zahteve po čim bolj natančnem ocenjevanju. Z razvojem računske moči in algoritmov bo EVT postala še bolj dostopna in uporabna za zavarovalnice vseh velikosti.

Pomembno je tudi omeniti, da se EVT ne uporablja zgolj za modeliranje škod, ampak tudi za modeliranje premij, še posebej pri prenehanju zavarovanja, ko se ocenjujejo ekstremni scenariji in tveganje nepričakovanih stroškov. To nam omogoča, da se bolj celovito pripravimo na finančne izzive in zagotovimo dolgoročno finančno trdnost. Zavedam se, da je to visoko-tehnično področje, a je ključno za razumevanje prave narave tveganj, ki jih obvladujemo v zavarovalništvu.

11. Zaključek: Vpliv EVT na stabilnost zavarovalnice

Razumevanje in uporaba Teorije ekstremnih vrednosti (EVT) ni zgolj akademska vaja, temveč ključen element robustnega upravljanja tveganj v zavarovalništvu, še posebej pri nezgodnih zavarovanjih. Z omogočanjem natančnejšega modeliranja redkih, a katastrofalnih dogodkov, nam EVT pomaga, da se ustrezno pripravimo na najslabše scenarije. Od pravilne izbire GEV distribucije (Gumbel, Frechet, Weibull) do določitve optimalnega praga za GPD, vsak korak prispeva k bolj zanesljivim izračunom VaR in ES, ki so podlaga za kapitalske zahteve in oblikovanje premij.

Kot Petra Guštin, zavarovalna strokovnjakinja, verjamem, da je nenehno izpopolnjevanje tehničnega znanja in uporaba najnovejših analitičnih orodij nujna za zagotavljanje varnosti in stabilnosti zavarovalnega portfelja. EVT nam daje vpogled v tisto, kar je 'izven običajnega', in nam omogoča proaktivno ukrepanje, namesto reaktivnega. To ni zgolj v korist zavarovalnic, temveč predvsem v korist zavarovancev, saj zagotavlja, da bodo sredstva za kritje škod na voljo tudi v najtežjih časih.

Če vas zanima poglobljena analiza vašega zavarovalnega portfelja z uporabo naprednih kvantitativnih metod ali potrebujete nasvet glede obvladovanja repnih tveganj, sem vam na voljo za individualni posvet. Razumevanje teh kompleksnih konceptov je naložba v prihodnost in varnost vašega poslovanja. Skupaj lahko preučimo, kako lahko EVT pristope implementiramo v vaše strateško načrtovanje in s tem optimiziramo vaše zavarovalne rešitve.

Pogosta vprašanja

Kaj je glavna razlika med GEV in GPD?

GEV modelira maksimume znotraj fiksnih blokov (npr. letni maksimume), medtem ko GPD modelira vrednosti, ki presegajo določen visok prag (presežke). Obe sta ključni za EVT, a GPD pogosto izkoristi več podatkov in je bolj fleksibilna za analizo presežkov.

Zakaj je določitev optimalnega praga pri GPD tako pomembna?

Optimalni prag določa, katere podatke smatramo za 'ekstremne'. Preveč nizek prag vključi preveč neekstremnih podatkov, preveč visok pa zmanjša velikost vzorca, kar oboje vodi do netočnih ocen. Napačna izbira praga lahko dramatično vpliva na ocene tveganja.

Kako EVT pomaga zavarovalnicam pri izračunu VaR?

EVT omogoča natančno oceno kvantilov na izjemno visokih ravneh (npr. 99,5% ali 99,9% VaR), ki jih standardne porazdelitve ne morejo zanesljivo modelirati. S tem se zagotovi, da so kapitalske zahteve dovolj visoke za kritje redkih, a katastrofalnih dogodkov.

Ali lahko EVT napove, kdaj se bo zgodila ekstremna škoda?

Ne, EVT ne napoveduje časa nastanka ekstremnih dogodkov. Namesto tega ocenjuje verjetnost in obseg takšnih dogodkov, če se že zgodijo. Pomaga nam razumeti 'koliko' in 'kako pogosto' se lahko pojavijo ekstremne vrednosti, ne 'kdaj'.

Ali se EVT uporablja le pri nezgodnih zavarovanjih?

Ne, EVT je široko uporabna v zavarovalništvu (premoženjska, odgovornostna zavarovanja) in tudi v drugih finančnih sektorjih (bančništvo, investicije) za modeliranje repnih tveganj, kot so tržni zlomi ali kreditna tveganja. Kjerkoli obstajajo redki, a pomembni ekstremni dogodki, je EVT relevantna.

Viri in reference

• Uradni list RS – Zakon o zavarovalništvu (ZZavar-1)
• AZN – Agencija za zavarovalni nadzor (smernice in priporočila)
• Embrechts, P., Klüppelberg, C., & Mikosch, T. (1997). Modelling extremal events for insurance and finance. Springer Science & Business Media.
• Coles, S. (2001). An introduction to statistical modeling of extreme values. Springer Science & Business Media.

Nadaljujte branje o tej temi

Povezave so izbrane samodejno glede na steber zaščite in ključne besede te objave.

• 
  Primer: Tehnični vpogledi

  Določitev upravičencev in izključitve kritja pri življenjskem zavarovanju

• 
  Primer: Tehnični vpogledi

  Izračun zavarovalne vsote in pravila prekinitve riziko življenjske police

• 
  Primer: Tehnični vpogledi

  Šolsko nezgodno zavarovanje vs. individualna otroška polica

• 
  Primer: Tehnični vpogledi

  Anamneza in zdravstveni vprašalnik: Zakaj je iskrenost pogoj za izplačilo

• 
  Primer: Tehnični vpogledi

  Doživljenjsko življenjsko zavarovanje in upravljanje sprememb na polici